数学定理违背常识吗，哪些数学定理在直觉上是对的，但证明起来很困难

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本文目录

1. 哪些数学定理在直觉上是对的，但证明起来很困难
2. 公理与定理的差别
3. 数学中的公理无法被证明，那么公理是如何保证自己是正确的

哪些数学定理在直觉上是对的，但证明起来很困难

很多人说数学这门学科很枯燥无趣，认为那些搞数学的都有一个固执木讷的脑袋。造成这样看似不太公平的印象还是有点依据的，在晓然菌看来，一个很重要的原因就是数学家太爱较真了，可谓是到了锱铢必较的地步。就像数学里有些理论，明明都已经找到了无数验证正确的数学现象，只是一时半会没有找到理论证明，数学家就是不给这样的数学猜想转正，就是只能被称作猜想。

数学博大精深

这里有许多看似简单的理论，证明却是很难。

这个猜想是看起来最简单不过了，“任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。”不出意外的话，你用超级计算机算到世界毁灭都不会遇到一个极其特殊的偶数，你只能写成一个奇合数和一个奇素数之和，或者是只能写成两个奇合数之和，就是不能写成两个奇素数之和，这看起来就是对的啊。

哥德巴赫

对于一个数学猜想解决它的根本道路是从理论上经过逻辑推理，通过推导得到最后成立与否的证明，凡是经历过这样的过程，才能把猜想转正成定理。历史上，在哥德巴赫猜想提出的几百年里，数学家们一直都没放弃过理论上来解决它，尤其在20世纪前半叶，关于哥德巴赫猜想的突破几乎是隔几年来一次。在这里中国解析数论学派取得了重大成就。王元，潘承洞，潘承彪，华罗庚，陈景润都有相当大贡献。

陈景润

目前哥德巴赫猜想最好结果仍然是陈景润在1973年给出的，陈景润的最好结果是：一个充分大的偶数都可以写成一个奇素数和不超过2个奇素数乘积的和，也就是“1+2”。但是猜想的终极目标却是“1+1”啊。如今将近50年过去了，仍然没有进展。人们都认为要有开天辟地的新方法才能解决这个难题了，交给下一个时代的数学家们吧。

哥德巴赫猜想看起来很简单吧，但就是解不开。

给你一个任意的整数，如果是偶数就除2，如果是奇数就乘3加1,然后如此迭代下去，最终一定会收敛到1。

第一次看到这个问题的同学一定会狐疑，真的吗？我不信。不信，那你就试着算几个呗，好像是真的哎，手算的太小，我用计算机来模拟。如果你的计算机算力足够大，一直计算到100*2^50次方，你会惊奇地发现，这个好像真的是对的，没有一个例外。

考拉兹猜想表述很简单

这个猜想提出的时间不算太久，1937年才开始出现，德国数学家考拉兹发现的发现的。一经推出，立刻风靡世界，50年代的某段时间里，整个耶鲁大学几乎每个人都在研究这个问题。然而，大部分的研究仅限于验算。

3X+1问题计算过程极为动荡

这个小游戏看起来太简单了，理论上应该很好证吧，不好意思，70年来，无人能破，甚至找不到一个真正意义上的突破。前段时间，陶哲轩宣布破解了在这个问题的一小部分，就让很多人心里激动了好久。

陶哲轩

然而，这个世界上最坦荡的就是数学题了，不会就是不会，解不开就是解不开，任何伪装都是徒劳的。

数学家考拉兹

当然了，数学里有太多这种看似简单实则巨难的问题，只不过以我们普通人的水平都被这最浅显的陈述所蒙蔽了。陈景润曾经说过：“一些想要在哥德巴赫问题研究上有所突破的同志们，必须至少要有数学研究生以上的水平，并且要持续至少要在数论领域深耕数年才有可能有所发现，不具备上述能力的同志们是不可能做出真正的成果的。”

在陈先生的这段话里我们也认识到，数学可以很简单，也可以很困难，唯一要保持的就是对于数学探索的信心以及敬畏之心。

公理与定理的差别

一、定义不同

1.公理是大家都认同的道理。“公”就是公共、大家的意思，在人类生产、生活中过程中，经过人类长期反复实践及验证，基于依据人类理性的不证自明的基本事实，不需要再加证明的基本命题，就是“公理”。

2.定理是经过证明的肯定对的道理。“定”就是肯定、一定的意思，“是经过合理的逻辑推理及证明等方法，得到的真命题叫作“定理”。

二、能否被证明不同

1.公理不能被证明，因为这是大家在长期的生活中公认的一种道理，不能也不需要被证明。所以公理是不需要认证的，是大家公认的，可以直接拿来用的。

2.定理需要被证明。比如数学、物理中的很多公式、定理等都需要证明它是对的，而且也是可以被证明的。一个推理的过程，允许从公理中引出、推出、证明出新定理和其他之前发现的定理。也就是说公理可以推出来定理。

三、形成方式不同

1.公理是通过人们的反复使用和公认而形成的，不需要被推理。公理是经过人类长期反复的实践检验是真实的，大家普遍公认的、不需要由其他判断加以证明、且也不能由其他判断证明的命题和原理。

2.定理是通过用推理的方法得到的。真命题叫作“定理”，这种推理的方法也叫“证明”，是一种已经证明具有正确性、可以作为原则或规律的命题或公式。

数学中的公理无法被证明，那么公理是如何保证自己是正确的

公理的正确性不来自假设。我们假设1+1=3，并不因为我们这样假设了，它就是正确的。

公理的正确性也不来自实践。实践生产不出来真理，就算天天实践把石头当饭吃，也是不会成功的。真理来自物自身，由事物自己决定。所以，马克思主义的认识路线第一条就是一切从实际出发，真理就蕴含在实际中。

公理约束的世界，一般叫做体系，也可以叫做理的国度。公理总是在一个体系中，每个体系都有固定成员，成员之间有固定的关系。公理和定理，都是描述成员之间的关系的。

因此，理的国度与人的国度是相似的。公理类似宪法，定理类似法律。法律来自宪法，定理来自公理。宪法是哪里来的？来自全体公民的共同意志，是每个人都同意的。公理则来自体系内成员的共同意志，是每个成员都同意的。

以自然数的加法运算体系为例，加法是自然数的一种行为，这种行为是要受约束的，约束它们的就是加法的公理和定理。这里的公理和定理来自自然数本身的意志，是由自然数自己决定的，不是任何外在的力量决定的。如果对任何一个自然数例外，它就不是自然数加法体系的公理或者定理。因此，在这里，保证定理与公理正确性的，就是自然数，而不是其它。

公理和定理之间的桥梁是逻辑推理，公理通过逻辑推理可以得出全部定理。宪法与法律的关系也类似。人们怎样制定宪法，与自然数怎样制定加法公理，道理是一样的。

首先是要尽可能简单，让人能够一目了然。其次是要尽可能严谨，就是足够用，不至于用它推不出某个定理。当然，总有一些法律擦边球行为，难以判定其是否合乎法律。同样也总有一些加法问题，不能根据加法公理或者定理判定对错，这就是哥德尔不完全性定理所说的。

因此，定理与公理并无本质区别，区别仅仅是公理处于推理的前提位置，而定理处于结论位置。至于公理的独立性，并不是必须的，实用方便的公理体系中，公理经常是不独立的。

公理和定理既然是公理体系的成员决定的，只要这些成员没有发生变化，公理体系中的公理和定理就不会发生变化。天不变，道亦不变。因为道就是天道。但哪些做公理，哪些做定理，这却是可以变化的。这也就是铁打的衙门流水的官所说的道理。公理体系，仅仅是成员对约束自己的规则的逻辑化处理。因此，数学的根基并非公理，而是数学存在，就是数与形，数与形是永恒的存在，是无法消灭的。

由于数与形自己不会说话，需要人代言。代言人有时说错话是正常的，但并不意味着数学系统自身有错误。数学大厦永不倒，这个和物质世界永不灭，是一个道理。人是万物之灵长，是万物最合适的代言人，也是最有能力纠正错误的存在，人类抽象出了数与形，但数与形有自己的规律，这是不以人的意志为转移的，但人类对数学真理的认识却是可以逐步深入的。这个深入过程，是认识中真理含量逐步增加的过程，而不是否定真理的过程。因此，科学的大厦只会越来越坚固，而不会倾倒。数学的公理体系也是一样。

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