插值法的作用？lagrange插值多项式优缺点

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本文目录

1. 牛顿插值法原理
2. lagrange插值多项式优缺点
3. 插值法是什么
4. 什么是拉格朗日插值法

牛顿插值法原理

插值法利用函数f(x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。

牛顿插值法的特点在于：每增加一个点，不会导致之前的重新计算，只需要算和新增点有关的就可以了。

假设已知n+1n+1个点相对多项式函数ff的值为：(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),?,(xn,f(xn))，求此多项式函数f。

先从求满足两个点(x0,f(x0)),(x1,f(x1))的函数f1(x)说起：

假设f1(x)=f(x0)+b1(x?x0)f1(x)=f(x0)+b1(x?x0)，

我们增加一个点，(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2))，求满足这三个点的函数f2(x)：

假设f2(x)=f1(x)+b2(x?x0)(x?x1)，

lagrange插值多项式优缺点

拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐牛顿插值法来代替。

插值法是什么

插值法又称“内插法”，是利用函数f(x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

插值法原理

数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P(i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。

数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。

上述公式易得。A、B、P三点共线，则

(b-b1)/(i-i1)=(b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。

什么是拉格朗日插值法

在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。

许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。

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